Question

如圖，⊙O的直徑AB=12，的長為2π，D在OC的延長線上，且CD=OC．
（1）求∠A的度數；
（2）求證：DB是⊙O的切線．
（參考公式：弧長公式l=，其中l是弧長，r是半徑，n是圓心角度數）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據弧長公式l=，得n=，求得∠BOC的度數，進一步根據圓周角定理進行求解；
（2）要證明DB是⊙O的切線，只需證明∠OBD=90°，根據（1）發現等邊三角形OBC，從而根據三角形一邊上的中線等于這邊的一半，證明即可．
解答：（1）解：設∠BOC=n°．
根據弧長公式，得，
n=60°．
根據圓周角定理，得∠A=∠BOC=30°．

（2）證明：連接BC．
∵OB=OC，∠BOC=60°，
∴△BOC是等邊三角形．
∴∠OBC=∠OCB=60°，OC=BC=OB．
∵OC=CD，
∴BC=CD．
∴∠CBD=∠D=∠OCB=30°．
∴∠OBD=∠OBC+∠CBD=60°+30°=90°．
∴AB⊥BD．
∴DB是⊙O的切線．
點評：此題綜合考查了弧長公式、圓周角定理、等邊三角形的判定和性質以及直角三角形的判定．