Question

【題目】已知正方形ABC D，E為平面內任意一點，連接AE，BE，將△ABE繞點B順時針旋轉90°得到△BFC.

（1）如圖1，求證：①；②.

（2）若，

① 如圖2，點E在正方形內，連接EC，若， ，求的長；

② 如圖3，點E在正方形外，連接EF，若AB=6，當C、E、F在一條直線時，

求AE的長.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）①由旋轉的性質得到△AEB≌△CFB，利用全等三角形的對應邊對應角相等證明；

②延長AE交CF于G，交BC于H，證明∠HGC=∠ABC即可；

（2）①連接EF，由BE⊥BF且BE=BF，可得∠BFE=45°，EF2=8，這樣在Rt△ECF中，

利用勾股定理可得FC的長， 即可得到結論；

②過點B作BG⊥FC于點G，利用勾股定理可得GC，GF的長，即可得到結論．

試題解析：解：（1）①由旋轉的性質可知：△ABE≌△CBF，∴AE=CF；

②延長AE交CF于G，交BC于H．由旋轉的性質可知：△ABE≌△CBF，∴∠BAE=∠BCF．∵∠AHB=∠CHG，∴∠HGC=∠ABC=90°，∴AE⊥CF；

（2）①連接EF．∵△ABE≌△CBF，∴∠ABE=∠CBF，BE=BF，∠BFC=∠BEA．∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠EBC=90°，∴∠EBC+∠FBC=90°，∴∠EBF=90°，∵BE=BF=2，∴EF2=22+22=8，∠BFE=45°，∴∠EFC=90°，∵EC=5，∴FC==，∴AE=；

②過點B作BG⊥FC于點G．∵△FBE是等腰直角三角形，BE=2，∴BG=FG=GE=，在Rt△BGC中，GC==，∴AE=CF=.