Question

（2007•聊城）（1）如圖1是一個重要公式的幾何解釋．請你寫出這個公式；
（2）如圖2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三點共線．試證明∠ACE=90°；
（3）伽菲爾德（Garfield，1881年任美國第20屆總統）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（1876年4月1日，發表在《新英格蘭教育日志》上），現請你嘗試該證明過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）用面積分割法證明：大正方形的面積等于小正方形和兩個長方形的面積之和，從而推出平方和公式．
（2）利用全等三角形對應角相等，直角三角形的兩個銳角互余，推出直角；
（3）用面積分割法法證明勾股定理：梯形ABDE的面積=三角形ABC的面積+三角形CDE的面積+三角形ACE的面積．
解答：解：（1）這個公式為（a+b）²=a²+2ab+b²；
證明：由圖可知大正方形被分成了一個小正方形和兩個長方形，
大正方形的面積=（a+b）²，兩個長方形的面積=（a+b）b+ab，
小正方形的面積=a²，那么大正方形的面積=（a+b）b+ab+a²=（a+b）²=a²+2ab+b²．

（2）∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC=∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°；
由于B，C，D共線，所以∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=180°-90°=90°．

（3）梯形ABDE的面積為（AB+ED）•BD=（a+b）（a+b）=（a+b）²；
另一方面，梯形ABDE可分成三個直角三角形，其面積又可以表示成ab+ab+c²．
所以，（a+b）²=ab+ab+c²．
即a²+b²=c²．
點評：面積法證明代數恒等式是常用的代數式變形，采用了數形結合的方式，直觀易懂．