Question

【題目】（1）如圖1，在△ABC中，點D、E、Q分別在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P，求證： ；

（2）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點．

①如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長；

②如圖3，求證：MN2=DM·EN．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）MN=．證明見解析．

【解析】試題分析：（1）可證明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，從而得出=；

（2）①根據三角形的面積公式求出BC邊上的高，根據△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的邊長，根據等于高之比即可求出MN；

②可得出△BGD∽△EFC，則DGEF=CFBG；又由DG=GF=EF，得GF2=CFBG，再根據（1）==，從而得出答案．

（1）證明：在△ABQ和△ADP中，

∵DP∥BQ，

∴△ADP∽△ABQ，

∴=，

同理在△ACQ和△APE中，

=，

∴=．

（2）①作AQ⊥BC于點Q．

∵BC邊上的高AQ=，

∵DE=DG=GF=EF=BG=CF

∴DE：BC=1：3

又∵DE∥BC，

∴AD：AB=1：3，

∴AD=，DE=，

∵DE邊上的高為，MN：GF=：，

∴MN：=：，

∴MN=．

故答案為：．

②證明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，

∴∠B=∠CEF，

又∵∠BGD=∠EFC，

∴△BGD∽△EFC，

∴=，

∴DGEF=CFBG，

又∵DG=GF=EF，

∴GF2=CFBG，

由（1）得==，

∴×=，

∴（）2=，

∵GF2=CFBG，

∴MN2=DMEN．