Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點是軸正半軸上的一點，，點在對稱軸左側的拋物線上運動，直線交拋物線的對稱軸于點，連接，當平分時，求點的坐標；

（3）直線交對稱軸于點，是坐標平面內一點，當與全等時，請直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3），，，．

【解析】

（1）用待定系數法，直接將AB代入解析式即可求解．
（2）由MN平分∠OMD，MD平行ON即可求出OM=ON=，繼而得出N點坐標，由直線ON解析式即可求出與拋物線交點坐標Q即可．
（3）由BCD三點的坐標可得△BCD三角形三邊長，由CE坐標可得，△PCE和△ACD中CD=CE，則另兩組邊對應相等即可，設P點坐標為（x，y）；利用勾股定理即列方程求解．

解：（1）∵拋物線經過，兩點，

∴解得：

∴拋物線的解析式為：．

（2）設對稱軸與軸交于點，

∵平分，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴．

在中，，．

∴，

∴；．

①當時，直線解析式為：，

依題意得：．

解得：，．

∵點在對稱軸左側的拋物線上運動，

∴點縱坐標．

∴；

②當時，直線解析式為：，同理可求：

．

綜上所述：點的坐標為：

，

（3）若與全等，點有四個，坐標為，，，．

由題意可知：，，，B（1，0），

，，，

直線AC經過，，設AC的解析式為y=kx+b，

將A和C代入，得，解得：，

直線AC解析式為，

拋物線對稱軸為，而直線AC交對稱軸于點，

坐標為；

，

設點坐標為，

則，

則，

，若與全等，有兩種情況，

Ⅰ．，，即．

，

解得：，，

即點坐標為，．

Ⅱ．，，即．

，

解得：，，

即點坐標為，．

故若△PCE與△ACD全等，P點有四個，坐標為，，，．