Question

已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，BC=4，⊙A與⊙B內切，⊙A與⊙C外切于點D，⊙B、⊙C的半徑均為1．求：
（1）⊙A的半徑；
（2）tan∠ADB的值？

Answer 1

分析：（1）設⊙A的半徑為R．根據已知條件“⊙A與⊙B內切，⊙A與⊙C外切于點D，⊙B、⊙C的半徑均為1”易知AB=R-1，AC=R+1；然后在直角三角形ABC中根據勾股定理列出關于R的方程，由R的取值范圍解方程即可；
（2）在Rt△ADB中，根據已知條件“⊙A與⊙C外切于點D”求得AD=

7

、AB=

7

-1；然后由銳角三角函數的定義來求tan∠ADB的值．

解答：解：（1）設⊙A的半徑為R，（1分）
∵⊙A與⊙B內切，⊙A與⊙C外切于點D，⊙B、⊙C的半徑均為1，
∴AB=R-1，AC=R+1．（2分）
∵∠A=90°，BC=4，∴AB²+AC²=BC²，（1分）
∴（R-1）²+（R+1）²=16，（1分）
解得R=±

7

（負值舍去）．
∴⊙A的半徑為

7

．（2分）

（2）∵⊙A與⊙C外切于點D，∴點D在AC上．（1分）
在Rt△ADB中，∵AD=

7

，AB=

7

-1，
∴tan∠ADB=

AB

AD

=

7 -1

7

=

7- 7

7

．（2分）

點評：本題綜合考查了相切兩圓的性質、勾股定理以及解直角三角形．解答本題的關鍵是根據圓外切、內切的性質求得相應線段的長度，再在直角三角形中利用勾股定理解答相關線段的長度．