Question

如圖，已知一次函數的圖象與x軸，y軸分別相交于A，B兩點，點C在AB上以每秒1個單位的速度從點B向點A運動，同時點D在線段AO上以同樣的速度從點A向點O運動，運動時間用t（單位：秒）表示．
（1）求AB的長；
（2）當t為何值時，△ACD與△ABO相似？并直接寫出此時點C的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先容易求出A，B兩點的坐標，然后求出OA，OB的長度，再利用勾股定理求AB；
（2）先用t分別表示AC，AD的長度，再根據相似的性質可以列出關于t的方程，解方程就可以求出點C的坐標；
解答：解：（1）當x=0時，y=3；當y=0時，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5；

（2）依題意BC=t，AC=5-t，AD=t，
若△ACD∽△ABO相似，
∴，
代入得：
 ，
解得：t=，
∴點C的橫坐標也就是AO-AD=AO-t=4-=，
再把x=帶入一次函數解析式，得y=．
∴此時C（，）
若△ACD∽△AOB相似，
 ，
 ，
∴t=，
AC=5-t=，
再過C點做CE⊥OA于E，
然后△ACE∽ABO，
=，
即=，
解得AE=，
∴OE=AO-AE=4-=，
而且又∵=，即=．
解得CE=．所以C（，）
∴C（，）或（，）
點評：此題主要考查了一次函數的綜合知識，另外還考查了勾股定理的計算及相似三角形的性質．題目難度適中．