Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點G是BC邊上任意一點，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．
（1）求證：AF-BF=EF；
（2）將△ABF繞點A逆時針旋轉，使得AB與AD重合，記此時點F的對應點為點F′，若正方形邊長為3，求點F′與旋轉前的圖中點E之間的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD為正方形，可得出∠BAD為90°，AB=AD，進而得到∠BAG與∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD與∠ADE互余，根據同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出三角形ABF與三角形ADE全等，利用全等三角的對應邊相等可得出BF=AE，由AF-AE=EF，等量代換可得證；
（2）將△ABF繞點A逆時針旋轉，使得AB與AD重合，記此時點F的對應點為點F′，連接EF′，如圖所示，由旋轉的性質可得出∠FAF′為直角，AF=AF′，由第一問的全等可得出AF=DE，等量代換可得出DE=AF′=AF，再利用同旁內角互補兩直線平行得到AF′與DE平行，根據一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可得出AEDF′為平行四邊形，再由一個角為直角的平行四邊形為矩形可得出AEDF′為矩形，根據矩形的對角線相等可得出EF′=AD，由AD的長即可求出EF′的長．
解答：（1）證明：如圖，∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
又∵BF∥DE，
∴∠AFB=∠AED=90°，
在△AED和△BFA中，
∵，
∴△AED≌△BFA（AAS），
∴BF=AE，
∵AF-AE=EF，
∴AF-BF=EF；

（2）解：如圖，將△ABF繞A點旋轉到△ADF′，使B與D重合，連接F′E，
根據題意知：∠FAF′=90°，DE=AF′=AF，
∴∠F′AE=∠AED=90°，即∠F′AE+∠AED=180°，
∴AF′∥ED，
∴四邊形AEDF′為平行四邊形，又∠AED=90°，
∴四邊形AEDF′是矩形，
∵AD=3，
∴EF′=AD=3．
點評：此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，以及旋轉的性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．