Question

如圖，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）．圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為-1、3，與y軸負半軸交于點C．下面三個結論：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③只有當a=

1

2

時，△ABD是等腰直角三角形；那么，其中正確的結論是

①③

．（只填你認為正確結論的序號）

Answer 1

分析：先根據圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為-1，3確定出AB的長及對稱軸，再由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．

解答：解：①∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為-1，3，
∴AB=4，
∴對稱軸x=-

b

2a

=1，
即2a+b=0．
故選項正確；
②由拋物線的開口方向向上可推出a＞0，而-

b

2a

=1，
∴b＜0，
∵對稱軸x=1，
∴當x=1時，y＜0，
∴a+b+c＜0．故選項錯誤；
③要使△ABD為等腰直角三角形，必須保證D到x軸的距離等于AB長的一半；
D到x軸的距離就是當x=1時y的值的絕對值．
當x=1時，y=a+b+c，
即|a+b+c|=2，
∵當x=1時y＜0，
∴a+b+c=-2，
又∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為-1，3，
∴當x=-1時y=0，即a-b+c=0，
x=3時y=0，即9a+3b+c=0，
解這三個方程可得：b=-1，a=

1

2

，c=-

3

2

，故選項正確．
故答案為：①③．

點評：考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數y=ax²+bx+c系數符號的確定：
（1）a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a＞0；否則a＜0；
（2）b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x=-

b

2a

判斷符號；
（3）c由拋物線與y軸的交點確定：交點在y軸正半軸，則c＞0；否則c＜0；
（4）b²-4ac由拋物線與x軸交點的個數確定：
①2個交點，b²-4ac＞0；②1個交點，b²-4ac=0；③沒有交點，b²-4ac＜0．