Question

如圖，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象的頂點在第一象限，且過點（0，1）和（-1，0）．下列結論：①ab＜0，②b²＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤當x＞-1時，y＞0，其中正確結論的個數是（ ）
A．5個
B．4個
C．3個
D．2個

Answer 1

【答案】分析：由拋物線的對稱軸在y軸右側，可以判定a、b異號，由此確定①正確；
由拋物線與x軸有兩個交點得到b²-4ac＞0，又拋物線過點（0，1），得出c=1，由此判定②正確；
由拋物線過點（-1，0），得出a-b+c=0，即a=b-1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正確；
由a-b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正確；
由圖象可知，當自變量x的取值范圍在一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個根之間時，函數值y＞0，由此判定⑤錯誤．
解答：解：∵二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）過點（0，1）和（-1，0），
∴c=1，a-b+c=0．
①∵拋物線的對稱軸在y軸右側，∴x=-＞0，
∴a與b異號，∴ab＜0，正確；
②∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴b²-4ac＞0，
∵c=1，∴b²-4a＞0，b²＞4a，正確；
④∵拋物線開口向下，∴a＜0，
∵ab＜0，∴b＞0．
∵a-b+c=0，c=1，∴a=b-1，
∵a＜0，∴b-1＜0，b＜1，
∴0＜b＜1，正確；
③∵a-b+c=0，∴a+c=b，
∴a+b+c=2b＞0．
∵b＜1，c=1，a＜0，
∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2，
∴0＜a+b+c＜2，正確；
⑤拋物線y=ax²+bx+c與x軸的一個交點為（-1，0），設另一個交點為（x，0），則x＞0，
由圖可知，當x＞x＞-1時，y＞0，錯誤；
綜上所述，正確的結論有①②③④．
故選B．
點評：本題主要考查二次函數圖象與系數之間的關系，不等式的性質，難度適中．二次函數y=ax²+bx+c（a≠0），a的符號由拋物線開口方向決定；b的符號由對稱軸的位置及a的符號決定；c的符號由拋物線與y軸交點的位置決定；拋物線與x軸的交點個數，決定了b²-4ac的符號，此外還要注意二次函數與方程之間的轉換．