Question

如圖，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為-1，3，與y軸負半軸交于點C．下面五個結論：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有當a=時，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB為等腰三角形的a的值可以有三個．那么，其中正確的結論是    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為-1，3確定出AB的長及對稱軸，再由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．
解答：解：①∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為-1，3，
∴AB=4，
∴對稱軸x==1，
即2a+b=0；
②由拋物線的開口方向向上可推出a＞0，而＞0
∴b＜0，
∵對稱軸x=1，
∴當x=1時，y＜0，
∴a+b+c＜0；

③∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為-1，3，
∴當x=2時y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
又∵b＜0，
∴4a+b+c＜0；

④要使△ABD為等腰直角三角形，必須保證D到x軸的距離等于AB長的一半；
D到x軸的距離就是當x=1時y的值的絕對值．
當x=1時，y=a+b+c，
即|a+b+c|=2，
∵當x=1時y＜0，
∴a+b+c=-2
又∵圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為-1，3，
∴當x=-1時y=0即a-b+c=0；
x=3時y=0．
∴9a+3b+c=0，
解這三個方程可得：b=-1，a=，c=-；

⑤要使△ACB為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC，
當AB=BC=4時，
∵AO=1，△BOC為直角三角形，
又∵OC的長即為|c|，
∴c²=16-9=7，
∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，
∴c=-，
與2a+b=0、a-b+c=0聯立組成解方程組，解得a=；
同理當AB=AC=4時
∵AO=1，△AOC為直角三角形，
又∵OC的長即為|c|，
∴c²=16-1=15，
∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，
∴c=-
與2a+b=0、a-b+c=0聯立組成解方程組，解得a=；
同理當AC=BC時
在△AOC中，AC²=1+c²，
在△BOC中BC²=c²+9，
∵AC=BC，
∴1+c²=c²+9，此方程無解．
經解方程組可知只有兩個a值滿足條件．
故正確的有①④．
點評：二次函數y=ax²+bx+c系數符號的確定：
（1）a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a＞0；否則a＜0；
（2）b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x=判斷符號；
（3）c由拋物線與y軸的交點確定：交點在y軸正半軸，則c＞0；否則c＜0；
（4）b²-4ac由拋物線與x軸交點的個數確定：
①2個交點，b²-4ac＞0；
②1個交點，b²-4ac=0；
③沒有交點，b²-4ac＜0．