Question

（2005•沈陽）如圖1，直線y=-x+3與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，點C（m，n）是第二象限內任意一點，以點C為圓心的圓與x軸相切于點E，與直線AB相切于點F．

（1）當四邊形OBCE是矩形時，求點C的坐標；
（2）如圖2，若⊙C與y軸相切于點D，求⊙C的半徑r；
（3）求m與n之間的函數關系式；
（4）在⊙C的移動過程中，能否使△OEF是等邊三角形（只回答“能”或“不能”）（沈陽05）

Answer 1

【答案】分析：（1）因為直線y=-x+3與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，所以分別令x=0，y=0，可求出A（4，0），B（0，3），所以OA=4，OB=3，AB=5，連接CF，當四邊形OBCE為矩形時，有CF=CE=OB=3，CB∥x軸，利用兩直線平行同位角相等可得∠CBF=∠BAO，又因⊙C與直線AB相切于點F，所以CF⊥AB于點F，利用AAS可知△CBF≌△BAO，所以CB=AB=5，即點C的坐標為（-5，3）；
（2）因為點C（m，n）是第二象限內任意一點，以點C為圓心的圓與x軸相切于點E，與直線AB相切于點F，若⊙C與y軸相切于點D，可分別連接CE、CF、CD，則由切線長定理得AF=AE，BF=BD，OD=OE，所以AE=（AB+OA+OB）=6，又因由切線性質定理得，CE⊥x軸于點E，CD⊥y軸于點D，所以四邊形CEOD為矩形，又因為CE=CD，所以四邊形CEOD為正方形，所以OE=CE=r=AE-OA=6-4=2；
（3）因為點C（m，n）是第二象限內任意一點，以點C為圓心的圓與x軸相切于點E，與直線AB相切于點F，所以可延長EC交AB于G，連接CF，則CF=CE=n，因為⊙C與x軸相切于點E，所以GE⊥AE于點E，EG∥y軸，∠CGF=∠OBA，所以可證△FCG∽△OAB，，即CG=n，又因GE=CG+CE==n，AE=OA+OE=4-m，利用tan∠EAG=tan∠BAO，即可得到關于m、n的關系式=，整理即可；
（4）若三角形OEF是等邊三角形，則有∠EFO=60°，∠CEF=∠CFE=30°，∠CGF=90°-∠GCF=30°，由（3）可知∠CGF=∠OBA，而tan∠OBA≠tan30°，所以產生了矛盾，即三角形OEF不是等邊三角形．
解答：解：（1）如圖1，當x=0時，y=3；當y=0時，x=4
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，
連接CF，
當四邊形OBCE為矩形時，有CF=CE=OB=3，CB∥x軸，
∴∠CBF=∠BAO
∵⊙C與直線AB相切于點F，
∴CF⊥AB于點F
∴∠CFB=∠BOA，
又∵CF=OB，
∴△CBF≌△BAO，
∴CB=AB=5，
∴點C的坐標為（-5，3）；

（2）如圖2，連接CE、CF、CD，
∵⊙C與x軸、y軸、AB分別相切于E、D、F，
∴由切線長定理得AF=AE，BF=BD，OD=OE，
∴AE=（AB+OA+OB）=6，
由切線性質定理得，CE⊥x軸于點E，CD⊥y軸于點D
∴四邊形CEOD為矩形，
又∵CE=CD，
∴矩形CEOD為正方形，
∴OE=CE=r，
∵OE=AE-OA=6-4=2，
∴⊙C的半徑為2；

（3）如圖1，延長EC交AB于G，連接CF，則CF=CE=n，
∵⊙C與x軸相切于點E，
∴GE⊥AE于點E，
∴EG∥y軸，
∴∠CGF=∠OBA，
又由（1）得∠GFC=∠BOA=90°，
∴△FCG∽△OAB，
∴，
∴CG=n，
又∵GE=CG+CE==n，
又∵AE=OA+OE=4-m，
∴在Rt△AEG中，tan∠EAG==，
在Rt△AOB中，tan∠BAO=，
∴=，
∴m=4-3n；

（4）不能．
∵∠CGF=∠OBA，而tan∠OBA≠tan30°，
∴產生了矛盾，即三角形OEF不是等邊三角形．
點評：本題需仔細分析題意，結合圖形，利用相似三角形、切線的性質即可解決問題．