Question

操作：如圖，在正方形ABCD中，P是CD上一動點(diǎn)（與C、D不重合），使三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)P重合，并且一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一直角邊與正方形的某一邊所在直線交于點(diǎn)E．
探究：①觀察操作結(jié)果，哪一個三角形與△BPC相似，寫出你的結(jié)論，（找出兩對即可）；并選擇其中一組說明理由；
②當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時，直接寫出① 中找到的兩對相似三角形的相似比和面積比．

Answer 1

分兩種情況：
①如圖（1），
∵∠BPE=90°，
∴∠BPC+∠DPE=90°，又∠BPC+∠PBC=90°，
∴∠PBC=∠DPE，又∠C=∠D=90°，
∴△BPC∽△PED．
如圖（2），同理可證△BPC∽△BEP∽△PCE．
②如圖（1），∵△BPC∽△PED，
∴△PED與△BPC的周長比等于對應(yīng)邊的比，即PD與BC的比，
∵點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)，
∴PD與BC的比為1：2，
∴△PED與△BPC的周長比1：2，
△PED與△BPC的面積比1:4
如圖（2），∵△BPC∽△BEP，
∴△BEP與△BPC的周長比等于對應(yīng)邊的比，即BP與BC的比，
∵點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)，
設(shè)BC=2k，則PC=k，BP=k，
∴BP與BC的比為：2，
△BEP與△BPC的周長比為：2，△BEP與△BPC的面積比為5：4．
同理：△PCE∽△BPC，周長比1：2，面積比1：4．

解析