Question

研究課題：螞蟻怎樣爬最近？
研究方法：如圖1，正方體的棱長為5cm，一只螞蟻欲從正方體底面上的點A沿著正方體表面爬到點C₁處，要求該螞蟻需要爬行的最短路程的長，可將該正方體右側面展開，由勾股定理得最短路程的長為AC₁=

AC2+CC12

=

102+52

=5

5

cm．這里，我們將空間兩點間最短路程問題轉化為平面內兩點間距離最短問題．
研究實踐：（1）如圖2，正四棱柱的底面邊長為5cm，側棱長為6cm，一只螞蟻從正四棱柱底面上的點A沿著棱柱表面爬到C₁處，螞蟻需要爬行的最短路程的長為

 

．
（2）如圖3，圓錐的母線長為4cm，圓錐的側面展開圖如圖4所示，且∠AOA₁=120°，一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點A出發，沿圓錐側面爬行一周回到點A．求該螞蟻需要爬行的最短路程的長．
（3）如圖5，沒有上蓋的圓柱盒高為10cm，底面圓的周長為32cm，點A距離下底面3cm．一只位于圓柱盒外表面點A處的螞蟻想爬到盒內表面對側中點B處．請求出螞蟻需要爬行的最短路程的長．

Answer 1

分析：（1）（2）將各圖展開，根據兩點之間線段最短，利用勾股定理解答，（3）作出點A關于CD的對稱點A'，可構造直角三角形或利用相似三角形等有關知識，進而得出求出BA'=20cm，即是所求．

解答：解：（1）畫圖分兩種情況：
①AC1=

(5+5)2+62

=

136

，
②AC1=

(6+5)2+52

=

146

，
∵

146

＞

136

，
∴最短路程為 2

34

cm，
故答案為2

34

cm，
（2）如圖1，連接AA₁，過點O作OP⊥AA₁，則AP=A₁P，∠AOP=∠A₁OP，

由題意，OA=4cm，∠AOA₁=120°，
∴∠AOP=60°．
∴AP=OA•sin∠AOP=4•sin60°=2

3

．
∴螞蟻需要爬行的最短路程的長為AA₁=4

3

，
（3）畫圖2，點B與點B’關于PQ對稱，可得AC=16，B’C=12，
∴最短路程為AB’=

162+122

=20cm．

點評：本題主要考查了同學們的空間想象能力，同時要求同學們能將立體圖形側面展開，有一定難度．