Question

（2010•東莞）閱讀下列材料：
1×2=（1×2×3-0×1×2），
2×3=（2×3×4-1×2×3），
3×4=（3×4×5-2×3×4），
由以上三個等式相加，可得：
1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20．
讀完以上材料，請你計算下列各題：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（寫出過程）；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=______；
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=______．

Answer 1

【答案】分析：可得規律：a×b=[a×b×（b+1）-（a-1）×a×b]．
解答：解：1×2=（1×2×3-0×1×2）；
2×3=（2×3×4-1×2×3）；
3×4=（3×4×5-2×3×4）；
…
10×11=（10×11×12-9×10×11）；
…
n×（n+1）=[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]．
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11
=（1×2×3-0×1×2）+（2×3×4-1×2×3）+（3×4×5-2×3×4）+…+（10×11×12-9×10×11）
=（10×11×12）=440；

（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）
=（1×2×3-0×1×2）+（2×3×4-1×2×3）+（3×4×5-2×3×4）+…+[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]=[n×（n+1）×（n+2）]；

（3）1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）；
2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4）；
3×4×5=（3×4×5×6-2×3×4×5）；
…
7×8×9=（7×8×9×10-6×7×8×9）；
∴1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9
=（1×2×3×4-0×1×2×3）+（2×3×4×5-1×2×3×4）+（3×4×5×6-2×3×4×5）+…+（7×8×9×10-6×7×8×9）；
=（7×8×9×10）=1260．
點評：本題是一道找規律的題目，這類題型在中考中經常出現．對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的．