Question

如圖，在平面直角坐標系中，將一塊腰長為

5

的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標軸上，直角頂點C的坐標為（-1，0），點B在拋物線y=ax²+ax-2上，
（1）點A的坐標為

（0，2）

，點B的坐標為

（-3，1）

；拋物線的解析式為

y=

1

2

x²+

1

2

x-2

；
（2）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，請求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）若點D是（1）中所求拋物線在第三象限內的一個動點，連接BD、CD．當△BCD的面積最大時，求點D的坐標．
（4）若點P是（1）中所求拋物線上一個動點，以線段AB、BP為鄰邊作平行四邊形ABPQ．當點Q落在x軸上時，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAC中，已知AC、OC的長，由勾股定理可求得點A的坐標；過點B作x軸的垂線，通過構建的全等三角形可確定點B的坐標；再利用待定系數法確定函數的解析式即可．
（2）由于∠ACB=90°，顯然直線BC與拋物線的另一交點符合點P的要求；另外，過點A作直線BC的平行線，那么該直線與拋物線的兩個交點顯然也符合點P的要求．
（3）已知B、C點的坐標，那么在求△BCD的面積時，可以B、C的橫坐標差的絕對值作為△BCD的一個高，過D作x軸的垂線交直線BC于M，那么可將DM當作此時△BCD的底，可據此求出關于△BCD的面積的函數關系式，再由所得函數的性質來求解．
（4）設出點Q的坐標，取BQ的中點，若AB、BP為平行四邊形的鄰邊，那么根據平行四邊形的中心對稱性可知：A、P關于BQ的中點對稱，先表示出點P的縱坐標，再代入拋物線的解析式中即可確定點P的坐標．

解答：解：（1）在Rt△OAC中，AC=

5

，OC=1，∴OA=

AC2-OC2

=2，即 A（0，2）；
過點B作BE⊥x軸于E，可得：△BEC≌△COA，
∴BE=OC=1，CE=OA=2，OE=CE+OC=3，即 B（-3，1）；
將點B（-3，1）代入y=ax²+ax-2中，得：
9a-3a-2=1，a=

1

2

∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²+

1

2

x-2．
故答案：A（0，2），B（-3，1），y=

1

2

x²+

1

2

x-2．

（2）存在點P（點B除外），使三角形ACP是以AC為直角邊的直角三角形
理由如下：
分情況討論：
①延長BC交拋物線于點P，連接AP₁
因為∠ACB=90°，∴∠ACP=90°
設直線BC的解析式為y=kx+b
將B（-3，1），C（-1，0）代入上式得

k=- 1 2 b=- 1 2

，所以 y=-

1

2

x-

1

2

；
聯立方程組

y= 1 2 x2+ 1 2 x-2 y= 1 2 x- 1 2

，解得

x1=1 y1=-1

，

x2=-3 y2=1

（不符合題意舍去）
所以：P₁（1，-1）；
②過點A作AP₂∥BC，交拋物線于點P₂，P₃
設直線AP₂的解析式為y=-

1

2

x+b，將A（0，2）代入得b₁=2
所以：y=-

1

2

x+2
聯立方程組

y= 1 2 x2+ 1 2 x-2 y=- 1 2 x+2

，解得：

x1=2 y1=1

，

x2=-4 y2=4

所以：P₂（2，1），P₃（-4，4）；
綜上所述：存在點P₁（1，-1），P₂（2，1），P₃（-4，4）（點B除外），使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．

（3）設點D的坐標為（m，

1

2

m²+

1

2

m-2），過點D作DM⊥x軸交直線BC于點M
所以點M的坐標為（m，-

1

2

m-

1

2

），MD=-

1

2

m²-m+

3

2

；
再設三角形BCD的面積為S．
S=

1

2

×MD×（x_C-x_B）=

1

2

（-

1

2

m²-m+

3

2

）×2=-

1

2

（m+1）²+2；
因為S是m的二次函數，且拋物線開口向下，函數有最大值
即當m=-1時S有最大值2
此時點D的坐標為（-1，-2）．

（4）設點Q的坐標（x，0），取BQ的中點（

x-3

2

，

1

2

）；
由于平行四邊形是中心對稱圖形，且對稱中心是平行四邊形的對角線的交點（

x-3

2

，

1

2

）；
已知點A的縱坐標為2，那么點P的縱坐標必為

1

2

×2-2=-1；將點P的縱坐標代入二次函數的解析式中，得：
-1=

1

2

x²+

1

2

x-2，解得：x=1或-2；
∴點P（1，-1）或（-2，-1）．

點評：該題涉及的內容較多，難度也較大，主要考查的知識點有：函數解析式的確定、特殊幾何圖形的判定和性質以及圖形面積的解法等．在解題時，一定要注意數形結合思想的合理應用，通過部分輔助線往往可以題目變的簡潔、明了．