Question

把一張寬AD=2的矩形紙片ABCD如圖那樣折疊，使每次折疊后，點A都落在CD邊上．如圖，將矩形紙片放在平面直角坐標系中，使AD邊落在y軸上，AD的中點與原點O重合．設某次折疊A的落點為A'，折痕線為EF，EF交x軸于點G．過點A'作x軸的垂線，交x軸于點H，交EF于點T．
（1）請試作兩次你認為最適當的折疊，并寫出各次所得到的點T的坐標；
（2）設DA′=x，點T的縱坐標為y，求y與x之間的函數關系式；
（3）求點T（，m）到點A的距離TA，并證明T（，m）到CD的距離等于TA的長．

Answer 1

解：（1）T（0，0），T（2，-1）或T（1，-），T（3，-）等．

（2）連接AA'，由折疊的對稱性知，EF垂直平分AA'于點G，
在Rt△A'GT中，GH⊥A'T，Rt△GHT∽Rt△A'HG，∴GH²=HT×A'H，
而A’H=1，GH=，
∴HT=
∵點T在第四象限，
∴點T的縱坐標為-，所求的函數關系式為y=-．（x≥0）

（3）由點T（，m）在拋物線y=-上，得m=-
延長A'T交AB于點M，連接AT．
在Rt△AMT中，AT==
點T（，-）到CD的距離為TA’，
TA’=A’H+HT=1+=
∴點T（，m）到CD邊的距離等于TA的長．
（指出EF是AA’的中垂線，得TA=TA’，再求得TA=TA’=的給本小題滿分）
分析：（1）根據折疊的性質易得答案，
（2）連接AA'，在Rt△A'GT中，易得Rt△GHT∽Rt△A'HG，進而有GH²=HT×A'H，而A’H=1，GH=，且點T在第四象限，故可得所求的函數關系式；
（3）由點T（，m）在拋物線y=-上，得m的值，延長A'T交AB于點M，連接AT．在Rt△AMT中，由勾股定理可得AT的大小；比較可得答案．
點評：本題主要考查，相似三角形的判定及平行線的性質，難度較大．