Question

如圖，已知平面直角坐標系xOy中，點A（m，6），B（n，1）為兩動點，其中0＜m＜3，連接OA，OB，OA⊥OB
（1）求證：mn=-6；
（2）當S_△AOB=10時，拋物線經(jīng)過A，B兩點且以y軸為對稱軸，求拋物線對應的二次函數(shù)的關系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形相似的判定得出△OBC∽△AOD，再利用相似三角形的性質得出比例式，進而表示出BC=1，AD=6，CO=-n，DO=m，求出即可；
（2）利用三角形面積得出S_梯形ABCD-S_△OBC-S_△AOD進而求出A，B兩點的坐標，利用函數(shù)性質得出一般式，代入求出即可．

解答：（1）證明：作BC⊥x軸，AD⊥x軸，垂足分別為C，D．
∵OA⊥OB，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠AOD=∠OBC，
∴△OBC∽△AOD，
∴

BC

DO

=

CO

AD

∵點A（m，6），B（n，1），
∴BC=1，AD=6，CO=-n，DO=m，
∴

1

m

=

-n

6

，
∴mn=-6；

（2）解：∵S_△AOB=10，
∴S_梯形ABCD-S_△OBC-S_△AOD=

1

2

（1+6）×（-n+m）-

1

2

（-n）-

1

2

×6m=10，
∴-6n+m=20，
∴m=20+6n，
∵mn=-6；
∴n（20+6n）=-6，
整理得：3n²+10n+3=0，
解得：n=-3或-

1

3

，
∵0＜m＜3，當n=-

1

3

時，m=18不合題意舍去，
∴n=-3，m=2，
∵拋物線經(jīng)過A，B兩點且以y軸為對稱軸，
∴假設二次函數(shù)解析式為：y=ax²+c．
將A（2，6），B（-3，1）分別代入得：

6=4a+c 1=9a+c

，
解得：

a=-1 c=10

，
∴二次函數(shù)的關系式為：y=-x²+10．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及二次函數(shù)的性質以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識，利用已知得出利用三角形的面積得出A，B兩點坐標是解決問題的關鍵．