Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長是3，點E、F分別在邊BC、CD上，且CE=DF=1，AE、BF交于點O．下列結論：①∠BOE=90°，②BO=OF，③tan∠OBA=，④S_△ABO=S_{四邊形OECF}，其中正確結論的個數是

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

C
分析：根據正方形的性質可得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△BCF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠1=∠2，然后求出∠2+∠3=90°，再求出∠BOE=90°，判斷出①正確；利用勾股定理列式求出AE，再利用△ABE的面積列式求出BO，然后求出OF的長度，判斷出②錯誤；求出∠OBA=∠3，然后根據銳角的正切等于對邊比鄰邊列式計算即可得解，從而判斷出③正確；再根據全等三角形的面積相等求出S_△ABO=S_{四邊形OECF}，判斷出④正確．
解答：解：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∵CE=DF=1，
∴BE=CF=3-1=2，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠3=180°-90°=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠BOE=180°-90°=90°，故①正確；
由勾股定理得，AE==，
S_△ABE=AB•BE=AE•BO，
即×3×2=×BO，
解得BO=，
∵△ABE≌△BCF，
∴BF=AE=，
∴OF=BE-BO=-=，
∴BO≠OF，故②錯誤；
∵∠2+∠3=90°，∠OBA+∠2=90°，
∴∠OBA=∠3，
∴tan∠OBA=tan∠3==，故③正確；
∵△ABE≌△BCF，
∴S_△ABE=S_△BCF，
∴S_△ABE-S_△BOE=S_△BCF-S_△BOE，
即S_△ABO=S_{四邊形OECF}，故④正確．
綜上所述，正確的結論有①③④共3個．
故選C．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，銳角三角函數，熟記性質并求出△ABE和△BCF全等是解題的關鍵，用阿拉伯數字加弧線表示角更形象直觀．