Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD滿足，CD∥AB，且A、B在x軸上，點D（0，6），若tan∠DAO=2，AB：AO=1：1．
（1）A點坐標為（

 

），B點坐標為（

 

）；
（2）求過A、B、D三點的拋物線方程；
（3）若（2）中拋物線過點C，求C點坐標；
（4）若動點P從點C出發沿C?B?x正方向，同時Q點從點A出發沿A?B?C方向（終點C）運動，且P、Q兩點運動速度分別為

5

個單位/秒，1個單位/秒，若設運動時間為x秒，試探索△BPQ的形狀，并說明相應x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據D點的坐標，可知OD的長；Rt△OAD中，根據∠DAO的正切值即可求出OA、AB、OB的長．也就求出了A、B的坐標；
（2）用待定系數法求解即可；
（3）由于CD∥x軸，則D、C關于拋物線的對稱軸對稱，由（2）的函數解析式即可求出拋物線的對稱軸方程，進而可求出C點坐標；
（4）根據B、C的坐標，易求出BC=3

5

，則Q、P同時到達B點，且用時都是3秒，因此本題要分情況進行討論：①Q在AB上，P在BC上時；②P在AB延長線上，Q在BC上時；③Q到達終點后．

解答：解：（1）Rt△AOD中，OD=6，tan∠DAO=2，
∴OA=3；
∴AB=OA=3，OB=6；
故A（3，0），B（6，0）；

（2）已知拋物線過A（3，0），B（6，0），D（0，6）；
可設拋物線的解析式為y=a（x-3）（x-6）（a≠0），則有：
-3×（-6）a=6，a=

1

3

；
∴y=

1

3

（x-3）（x-6）=

1

3

x²-3x+6；

（3）由（2）知：拋物線的對稱軸為x=

9

2

；
由于CD∥x軸，且C、D都是拋物線上的點，
所以C、D關于拋物線的對稱軸對稱；
已知D（0，6），
故C（9，6）；

（4）過C作CE⊥x軸于E，則CE=6，OE=9，BE=3；
Rt△BCE中，BE=3，CE=6，
由勾股定理，得：BC=3

5

；
∴P由C到B的時間為3

5

÷

5

=3秒；
Q由A到B的時間為3÷1=3秒；
∴P、Q同時到達B點；
①0≤x＜3時，∠PBQ＞∠CEB=90°；
故此時△BPQ是鈍角三角形；
②3＜x≤3

5

時，P在AB延長線上，Q在線段BC上；
此時BP=

5

（t-3），BQ=t-3；
∴BQ：BP=1：

5

；
在Rt△CBE中，cos∠CBE=BE：BC=1：

5

，
即cos∠CBE=BQ：BP；
∴∠BQP=90°，此時△BQP是直角三角形；
③x＞3

5

時，由②知，此時∠BQP＞90°，
故此時△BQP是鈍角三角形；
綜上所述，當0≤x＜3或x＞3

5

時，△BPQ是鈍角三角形；
當＜x≤3

5

時，△BQP是直角三角形．

點評：此題是二次函數的綜合題，涉及到：二次函數解析式的確定、拋物線的對稱性、解直角三角形的應用等知識．