Question

【題目】已知：如圖，在平行四邊形中，G、H分別是、的中點(diǎn)，E、O、F分別是對(duì)角線上的四等分點(diǎn)，順次連接G、E、H、F.

（1）求證：四邊形是平行四邊形；

（2）當(dāng)平行四邊形滿足_______條件時(shí)，四邊形是菱形；

（3）若，探究四邊形的形狀，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）四邊形是矩形，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）連接AC，由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件得出E、F分別為OB、OD的中點(diǎn)，證出GF為△AOD的中位線，由三角形中位線定理得出GF∥OA，GF＝OA，同理：EH∥OC，EH＝OC，得出EH＝GF，EH∥GF，即可得出結(jié)論；

（2）連接GH，證出四邊形ABHG是平行四邊形，再證明GH⊥EF，即可得出平行四邊形GEHF是菱形；

（3）由（2）得：四邊形ABHG是平行四邊形，得出GH＝AB，證出GH＝EF，即可得出四邊形GEHF是矩形.

解：（1）連接AC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∴BD的中點(diǎn)在AC上，

∵E、O、F分別是對(duì)角線BD上的四等分點(diǎn)，

∴E、F分別為OB、OD的中點(diǎn)，

∵G是AD的中點(diǎn)，

∴GF為△AOD的中位線，

∴GF∥OA，GF＝OA，

同理：EH∥OC，EH＝OC，

∴EH＝GF，EH∥GF，

∴四邊形GEHF是平行四邊形；

（2）當(dāng)ABCD滿足AB⊥BD條件時(shí)，四邊形GEHF是菱形；

理由：連接GH，

則AG＝BH，AG∥BH，

∴四邊形ABHG是平行四邊形，

∴AB∥GH，

∵AB⊥BD，

∴GH⊥BD，

∴GH⊥EF，

∴平行四邊形GEHF是菱形，

故答案為：AB⊥BD；

（3）四邊形GEHF是矩形；

理由：由（2）得，四邊形ABHG是平行四邊形，

∴GH＝AB，

∵BD＝2AB，

∴AB＝BD＝EF，

∴GH＝EF，

∴四邊形GEHF是矩形．