Question

在Rt△ABC中，直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，點E是BC邊的中點，連接DE，
（1）DE與半圓O相切嗎？若相切，請給出證明；若不相切，請說明情況．
（2）若AD、AB的長是方程x²﹣10x+24=0的根，求直角邊BC的長．

Answer 1

解：（1）DE與半圓O相切． 證明：連接OD、OE． ∵O、E分別是BA、BC的中點， ∴OE∥AC， ∴∠BOE=∠BAC，∠EOD=∠ADO， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠BAC． ∴∠BOE=∠EOD． ∵OD=OB，OE=OE， ∴△OBE≌△ODE． ∴∠ODE=∠OBE=90°． ∴DE與半圓O相切； （2）∵在Rt△ABC中，BD⊥AC， ∴Rt△ABD∽Rt△ABC， ∴=，即AB2=AD·AC， ∴AC=． ∵AD，AB的長是方程x2﹣10x+24=0的兩個根， ∴解方程x2﹣10x+24=0，得：x1=4，x2=6． ∵AD<AB， ∴AD=4，AB=6， ∵AC=，AD=4，AB=6， ∴AC=9， 在Rt△ABC中，AB=6，AC=9． ∴BC===3．