Question

如圖，中，，，過點作∥，點、分別是射線、線段上的動點，且，過點作∥交線段于點，聯接，設面積為，．

（1）用的代數式表示；

（2）求與的函數關系式，并寫出定義域；

（3）聯接，若與相似，求的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】（1）∵∥，∥，

∴四邊形是平行四邊形                 1分

∴，                   1分

,                  1分

可得                              1分

解：（2）∵，

∴∠∠

又∠ =∠，∠=∠，

∴∠=∠，

∴源:學*科*網]

∴當時，；                             1分

作，，垂足分別為點、，

則易得，，，

由∠=∠，∠=∠

得△∽△

∴，

∴，

∴                               2分

                                          1分

所以與的函數關系式是

                               1分

 

解：（3）【解法一】當時

由，，∠∠

可得△≌△，于是              1分

由于∠∠，

所以若△與△相似，

只有△∽△

可得                                   1分

于是得，解得                  2分

同理當，可得（不合題意，舍去）    1分

所以，若△與△POQ相似，AP的長為。

【解法二】當時，可得，

于是得,

                             1分

由于∠=∠，

所以若△與△相似，只有△∽△

                                    1分

解得，（不合題意，舍去）            2分

所以，若△與△相似， 的長為       1分

（1）首先根據AD∥BC，PE∥AC，判定四邊形APEC是平行四邊形，從而得到AC=PE=6，AP=EC=x，然后根據平行線分線段成比例定理列出比例式用含x的代數式表示PO；

（2）根據AB=BC=5，利用等邊對等角得到∠BAC=∠BCA，再根據∠APE=∠BCA，∠AOP=∠BCA，得到∠APE=∠AOP，設AP=AO=x，用含x的式子表示OQ=5-2x，利用△OHQ∽△AFB表示出y與x的函數關系式即可；

（3）根據當0＜x＜時，由AP=BQ=x，AQ=BE=5-x，∠PAQ=∠QBE可得△PAQ≌△QBE，于是PQ=QE，可得若△PQE與△POQ相似，只有△PQE∽△POQ，于是得x=5-2x，解得x的值即可．

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