Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經過點B（14，0）和C（0，-8），對稱軸為x=4．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點D在線段AB上且AD=AC，若動點P從A出發沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，同時另一動點Q以某一速度從C出發沿線段CB勻速運動，問是否存在某一時刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時的時間（秒）和點Q的運動速度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵圖象經過點B（14，0）和C（0，-8），對稱軸為x=4，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-8；

（2）存在直線CD垂直平分PQ．
理由如下：令y=0，則x²-x-8=0，
整理得，x²-8x-84=0，
解得x₁=-6，x₂=14（為點B坐標），
∴點A的坐標為（-6，0），
在Rt△AOC中，AC===10，
∴OD=AD-AO=AC-AO=10-6=4，
∴點D在二次函數的對稱軸上，
∵直線CD垂直平分PQ，
∴∠PDC=∠QDC，PD=DQ，
又∵AD=AC，
∴∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC，
∴DQ是△ABC的中位線，
∴DQ=AC=×10=5，
∴AP=AD-PD=AC-DQ=10-5=5，
∵動點P從A出發沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，
∴t=5÷1=5，
∴存在t=5（秒）時，線段PQ被直線CD垂直平分，
此時，在Rt△BOC中，BC===2，
∵DQ是△ABC的中位線，
∴CQ=BC=×2=，
∴點Q的運動速度為每秒單位長度．
分析：（1）把點B、C的坐標代入拋物線解析式，根據對稱軸解析式列出關于a、b、c的方程組，求解即可；
（2）根據拋物線解析式求出點A的坐標，再利用勾股定理列式求出AC的長，然后求出OD，可得點D在拋物線對稱軸上，根據線段垂直平分線上的性質可得∠PDC=∠QDC，PD=DQ，再根據等邊對等角可得∠PDC=∠ACD，從而得到∠QDC=∠ACD，再根據內錯角相等，兩直線平行可得PQ∥AC，再根據點D在對稱軸上判斷出DQ是△ABC的中位線，根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出DQ=AC，再求出AP，然后根據時間=路程÷速度求出點P運動的時間t，根據勾股定理求出BC，然后求出CQ，根據速度=路程÷時間，計算即可求出點Q的速度．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，勾股定理，等邊對等角的性質，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，（2）求出DQ∥AC是解題的關鍵．