Question

已知：拋物線與x軸有兩個不同的交點。

（1）求k的取值范圍；
（2）當k為整數，且關于x的方程3x=kx-1的解是負數時，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若在拋物線和x軸所圍成的封閉圖形內畫出一個最大的正方形，使得正方形的一邊在x軸上，其對邊的兩個端點在拋物線上，試求出這個最大正方形的邊長。

Answer 1

解：（1）， 依題意，得， ∴k的取值范圍是k且k≠1，①； （2）解方程3x=kx-1，得， ∵方程3x=kx-1的解是負數， ∴3-k>0，∴k<3，②， 綜合①②，及k為整數，可得k=2， ∴拋物線的解析式為y=x2+4x； （3）如圖，設最大正方形ABCD的邊長為m， 則B、C兩點的縱坐標為-m， 且由對稱性可知：B、C兩點關于拋物線對稱軸對稱， ∵拋物線的對稱軸為：x=-2， ∴點C的坐標為， ∵C點在拋物線上， ∴， 整理，得， ∴（舍負）， ∴。