Question

如圖，△ABC的兩條角平分線BD、CE交于O，且∠A=60°，則下列結論中不正確的是（　�。�

A．∠BOC=120°

B．BC=BE+CD

C．OD=OE

D．OB=OC

Answer 1

分析：根據三角形的內角和等于180°求出∠ABC+∠ACB=120°，再根據角平分線的性質求出∠OBC+∠OCB=60°，然后利用三角形的內角和等于180°列式計算即可求出∠BOC的度數；
連接OA，作OF⊥AB于點F，OG⊥AC于點G，OH⊥BC于點H，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得OF=OG=OH，從而可得△BOF和△BOH全等，△COG和△COH全等，根據全等三角形對應邊相等可得BH=BF，CH=CG，再根據四邊形的內角和求出∠FOG=120°，根據對頂角相等求出∠EOD=120°，然后推出∠EOF=∠DOG，再利用“角邊角”證明△EOF和△DOG全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=DG，OD=OE，即可判定出B、C選項都正確，根據等角對等邊的性質，只有∠ABC=∠ACB時才能得到OB=OC，所以D選項錯誤．

解答：解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，
∵△ABC的兩條角平分線BD、CE交于O，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=120°，故A選項正確；

如圖，連接OA，作OF⊥AB于點F，OG⊥AC于點G，OH⊥BC于點H，
∵△ABC的兩條角平分線BD、CE交于O，
∴OF=OG=OH，
利用“HL”可得△BOF≌△BOH，△COG≌△COH，
∴BH=BF，CH=CG，
在四邊形AFOG中，∠FOG=360°-60°-90°×2=120°，
∴DOG=∠FOG-∠DOF=120°-∠DOF，
又∵∠EOD=∠BOC=120°，
∴∠EOF=∠EOD-∠DOF=120°-∠DOF，
∴∠EOF=∠DOG，
在△EOF和△DOG中，

∠EOF=∠DOG OF=OG ∠EFO=∠DGO=90°

，
∴△EOF≌△DOG（ASA），
∴EF=DG，OD=OE，故C選項正確；
∴BC=BH+CH=BF+CG=BE+EF+CD-DG=BE+CD，
即BC=BE+CD，故B選項正確；

只有當∠ABC=∠ACB時，∵△ABC的兩條角平分線BD、CE交于O，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
而本題無法得到∠ABC=∠ACB，
所以，OB=OC不正確，故D選項錯誤．
故選D．

點評：本題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，作出輔助線，并根據∠A=60°推出，∠FOG=∠EOD=120°，從而證明得到∠EOF=∠DOG是證明三角形全等的關鍵，也是解決本題的難點．