Question

把數字1，2，3，…，9分別填入右圖的9個圈內，要求三角形ABC和三角形DEF的每條邊上三個圈內數位之和等于18．
（1）給出符合要求的填法；
（2）共有多少種不同填法？證明你的結論．

Answer 1

解：（1）右圖給出了一個符合要求的填法；

（2）共有6種不同填法
把填入A，B，C三處圈內的三個數之和記為x；D，E，F三處圈內的三個數之和記為y；其余三個圈所填的數位之和為z．顯然有x+y+z=1+2+…+9=45①，
圖中六條邊，每條邊上三個圈中之數的和為18，所以有z+3y+2x=6×18=108②，
②-①，得x+2y=108-45=63③，
把AB，BC，CA每一邊上三個圈中的數的和相加，則可得2x+y=3×18=54④，
聯立③，④，解得x=15，y=24，
繼而解之z=6．
在1，2，3，…，9中三個數之和為24的僅為7，8，9，所以在D，E，F三處圈內，只能填7，8，9三個數，共有6種不同填法．
顯然，當這三個圈中的數一旦確定，根據題目要求，其余六個圈內的數也隨之確定，從而得結論，共有6種不同的填法．
分析：（1）先確定D、E、F三處的數字之和應該是24，再進一步分析其它的數字；
（2）把填入A，B，C三處圈內的三個數之和記為x；D，E，F三處圈內的三個數之和記為y；其余三個圈所填的數位之和為z．結合圖形和已知條件得到方程組，進而求得y=24，再進一步分析即可．
點評：此題中要特別注意三角形的頂點的數字的重復使用，能夠根據各邊的數字之和列方程組求解．