Question

在矩形紙片ABCD中，AB=3

3

，BC=6，沿EF折疊后，點C落在AB邊上的點P處，點D落在點Q處，AD與PQ相交于點H，∠BPE=30°．
（1）BE的長為

 

，QF的長為

 

；
（2）四邊形PEFH的面積為

 

．

Answer 1

分析：（1）由于在Rt△PBE中，∠BPE=30°，設BE=x，然后根據三角函數的定義用x分別表示PE，PB，而BE+EC=BC，由此可以得到關于x的方程，解方程即可求出BE，接著求出PB，PA，PH，最后根據已知利用三角函數即可QF的值；
（2）根據已知可以得到四邊形PEFH的面積等于梯形EFCD的面積減去三角形HFQ的面積，所以分別求出梯形EFCD的面積和三角形HFQ的面積即可．

解答：解：（1）設BE=x，在Rt△PBE中，∠BPE=30°，
∴PE=2x，PB=

3

x，
由題意得EC=EP=2x，
∵BE+EC=BC，
∴3x=6，x=2，即BE=2，
∴EC=4，PB=2

3

∴PA=

3

，
在Rt△APH中，∠APH=60°，
∴AH=3，PH=2

3

∴HQ=PQ-PH=

3

，
在Rt△HQF中，∠QHF=30°，
tan∠QHF=

QF

HQ

，
∴QF=1；

（2）∵S_梯形FECD=

1

2

（1+4）×3

3

=

15

2

3

，
∴S_△HFQ=

3

2

，
∴S_{四邊形PEFH}=S_梯形FECD-S_△HFQ=

15

2

3

-

3

2

=7

3

．

點評：此題考查綜合解直角三角形，矩形的性質及翻折變換等知識點的掌握情況．