Question

（2005•鹽城）已知：在矩形ABCD中，AB=2，E為BC邊上的一點，沿直線DE將矩形折疊，使C點落在AB邊上的C點處．過C′作C′H⊥DC，C′H分別交DE、DC于點G、H，連接CG、CC′，CC′交GE于點F．
（1）求證：四邊形CGC′E為菱形；
（2）設sin∠CDE=x，并設y=，試將y表示成x的函數；
（3）當（2）中所求得的函數的圖象達到最高點時，求BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得CC'被DE垂直平分，可得所求的四邊形有2組鄰邊相等，以及一對對應角相等，利用圖中的兩個垂直得到C'H∥BC，可得到一對內錯角相等，利用等邊對等角，得到C′G=C′E，那么可得4條邊相等，那么是菱形．
（2）給出了y的基本形式，那么可設分母中的單獨的一個字母為未知量，其他線段用這條線段以及相應的x表示．
（3）函數圖象達到最高點，那么應是當x=-時y相應的值．充分利用（2）在中的DG：DE的值，求得DE值，利用勾股定理可求得C'H的長，那么BC=C'H．
解答：（1）證明：根據題意，C、C′兩點關于直線DE成軸對稱，DE是線段CC′的垂直平分線，
故EC=EC′，GC=GC′，∠C′EG=∠CEG（2分）
由C′H⊥DC，BC⊥DC得：C′G∥CE，
∴∠C′GE=∠GEC，
∵∠C′EG=∠CEG，
∴∠C′GE=∠C′EG，
∴C′G=C′E，
∴C′G=C′E=EC=GC，
∴四邊形CGCE為菱形．（4分）

（2）解：設DE=a，由sin∠CDE==x，
則CE=ax，又DC⊥CE，CF⊥DE，
∴△DCE∽△CFE，
∴
∴（6分）
DG=DE-2EF=a-2ax²，
∴．（7分）
∴y=-2x²+x+1．（8分）

（3）解：由（2）得：y=-2x²+x+1=，（9分）
可見，當x=時，此函數的圖象達到最高點，此時
∵GH∥CE，
∴，
由DC=2，得DH=．（10分）
在Rt△DHC′中．（11分）
∴BC=．（12分）
點評：本題綜合考查了菱形的判定，三角形的相似，勾股定理等知識．使用的判定為：四條邊相等的四邊形是菱形．