Question

已知△ABC內接于⊙O，過點A作直線EF，
（1）如圖1，若AB為直徑，要使得EF是⊙O的切線，還需要添加的條件是（只須寫出兩種不同情況）①

EF⊥AB

或②

∠EAC=∠B

．
（2）如圖2，若AB為非直徑的弦，∠CAE=∠B，試說明EF是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）添加條件EF⊥AB，根據切線的判定推出即可；添加條件∠EAC=∠B，根據直徑推出∠CAB+∠B=90°，推出∠EAC+∠CAB=90°，根據切線判定推出即可；
（2）作直徑AM，連接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠EAC+∠CAM=90°，根據切線的判定推出即可．

解答：（1）解：添加的條件是①EF⊥AB，
理由是∵EF⊥AB，OA是半徑，
∴EF是⊙O的切線；
②∠EAC=∠B，
理由是：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∵∠EAC=∠B，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
∴EF⊥AB，
∵OA是半徑，
∴EF是⊙O的切線；

（2）解：
作直徑AM，連接CM，
即∠B=∠M（在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等），
∵∠EAC=∠B，
∴∠EAC=∠M，
∵AM是⊙O的直徑，
∴∠ACM=90°，
∴∠CAM+∠M=90°，
∴∠EAC+∠CAM=90°，
∴EF⊥AM，
∵OA是半徑，
∴EF是⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定，圓周角定理，三角形的內角和定理等知識點，注意：經過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，直徑所對的圓周角是直角．