Question

設拋物線y=ax²+bx-2與x軸交于兩個不同的點A（-1，0）、B（m，0），與y軸交于點C．且∠ACB=90度．
（1）求m的值；
（2）求拋物線的解析式，并驗證點D（1，-3）是否在拋物線上；
（3）已知過點A的直線y=x+1交拋物線于另一點E．問：在x軸上是否存在點P，使以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似？若存在，請求出所有符合要求的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）令x=0，得y=-2
∴C（0，-2）
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC²
∴
∴m=4

（2）將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，
解得，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2，
當x=1時，y=x²-x-2=-3，
∴點D（1，-3）在拋物線上．

（3）由得，
∴E（6，7），
過E作EH⊥x軸于H，則H（6，0），
∴AH=EH=7，
∴∠EAH=45°，
作DF⊥x軸于F，則F（1，0），
∴BF=DF=3
∴∠DBF=45°，
∴∠EAH=∠DBF=45°，
∴∠DBH=135°，90°＜∠EBA＜135°
則點P只能在點B的左側，有以下兩種情況：
①若△DBP₁∽△EAB，則，
∴BP₁===
∴OP₁=4-=，
∴P₁（，0）；
②若△DBP₂∽△BAE，則，
∴BP₂===
∴OP₂=-4=
∴P₂（-，0）．
綜合①、②，得點P的坐標為：P₁（，0）或P₂（-，0）．
分析：（1）根據拋物線的解析式可知OC=2，由于∠ACB=90°，可根據射影定理求出OB的長，即可得出B點的坐標，也就得出了m的值．然后根據A，B，C三點的坐標，用待定系數法可求出拋物線的解析式．
（2）將D點的坐標代入（1）得出的拋物線的解析式中，即可判斷出D是否在拋物線上．
（3）本題要分情況進行討論，如果過E作x軸的垂線，不難得出∠DBx=135°，而∠ABE是個鈍角但小于135°，因此P點只能在B點左側．可分兩種情況進行討論：
①∠DPB=∠ABE，即△DBP∽△EAB，可得出BP：AP=BD：AE，可據此來求出P點的坐標．
②∠PDB=∠ABE，即△DBP∽△BAE，方法同①，只不過對應的成比例線段不一樣．
綜上所述可求出符合條件的P點的值．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、相似三角形的判定和性質等知識點，綜合性較強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．