Question

20、如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，過點A作AE∥BD，交CD的延長線于點E，且∠C=2∠E．
（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）若∠BDC=30°，AD=5，求CD的長．

Answer 1

分析：證明ABCD是等腰梯形，需證∠ADC=∠C，而∠BDC=∠E，而DB平分∠ADC，所以∠E=∠BDC=∠ADB，所以∠ADC=2∠E=∠C，從而可證明其是等腰梯形．
根據已知得到∠C=2∠E=2∠BDC=60°，且BC=AD=5，所以∠DBC=90°，得到DC=2BC=10．

解答：證明：（1）∵AE∥BD，
∴∠E=∠BDC．
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠BDC．
又∵∠C=2∠E，
∴∠ADC=∠BCD．
∴梯形ABCD是等腰梯形．（3分）

解：（2）由第（1）問，得∠C=2∠E=2∠BDC=60°，且BC=AD=5，
∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°，
∴∠DBC=90°．
∴DC=2BC=10．（7分）

點評：考查了等腰梯形的判定、直角三角形性質以及推理能力．