Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，動(dòng)點(diǎn)P以2米/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)O以1米/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)P、O兩點(diǎn)移動(dòng)t秒（0＜t＜5）后，四邊形ABOP的面積為S平方米．
（1）求cos∠ACB的值；
（2）求面積S與時(shí)間t的關(guān)系式；
（3）在P、O兩點(diǎn)移動(dòng)的過程中，能否使△CPO與△ABC相似？若能，求出此時(shí)點(diǎn)P的位置；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用解直角三角形的性質(zhì)，cos∠ACB等于∠ACB的鄰邊除以斜邊得出即可；
（2）首先表示出△POC的面積，再利用△ABC減去△POC的面積即可得出答案．
（3）根據(jù)△CPO與△ABC相似，則要考慮以下2種情況：①∠POC=90°，②∠OPC=90°，分別求出即可．
解答：解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，
∴AC==10m，
∴cos∠ACB===，

（2）過點(diǎn)P作PF⊥BC，
∴PF∥AB，
∴=，
∵動(dòng)點(diǎn)P以2米/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)O以1米/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，
∴=，
∴PF=，
∴S_△POC=×t×=，
∴四邊形ABOP的面積為：S=×6×8-=t²-3t+24；

（3）若△CPO與△ABC相似，則有以下2種情況：
①∠POC=90°
∵∠ABC=90°，
∴PO∥AB，
∴=，
∴=，
解得：，
此時(shí)，PO=，OB=，
∴；
②∠OPC=90°
過P作OP⊥AC于P，
∴=，
∴
解得，，
此時(shí)，PE=，BE=
∴，
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)為 或 ．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理、三角形的面積計(jì)算、點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)，要注意第三問中，要分對(duì)應(yīng)角的不同來(lái)得出不同的對(duì)應(yīng)線段成比例，從而得出運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值．不要忽略掉任何一種情況．