Question

如圖，在平面直角坐標系中，直角三角形AOB的頂點A、B分別落在坐標軸上．O為原點，點A的坐標為（6，0），點B的坐標為（0，8）．動點M從點O出發．沿OA向終點A以每秒1個單位的速度運動，同時動點N從點A出發，沿AB向終點B以每秒個單位的速度運動．當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設動點M、N運動的時間為t秒（t＞0）．
（1）當t=3秒時．直接寫出點N的坐標，并求出經過O、A、N三點的拋物線的解析式；
（2）在此運動的過程中，△MNA的面積是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；
（3）當t為何值時，△MNA是一個等腰三角形？

Answer 1

解：（1）N（3，4）。
∵A（6，0）
∴可設經過O、A、N三點的拋物線的解析式為：y=ax（x﹣6），則將N（3，4）代入得
4=3a（3﹣6），解得a=﹣。

∴拋物線的解析式：。
（2）存在。過點N作NC⊥OA于C，
由題意，AN=t，AM=OA﹣OM=6﹣t，
∴NC=NA•sin∠BAO=。
∴。
∴△MNA的面積有最大值，且最大值為6。
（3）在Rt△NCA中，AN=t，NC=AN•sin∠BAO=，AC=AN•cos∠BAO=t。
∴OC=OA﹣AC=6﹣t。∴N（6﹣t，）。
∴。
又AM=6﹣t且0＜t＜6，
①當MN=AN時，，即t²﹣8t+12=0，解得t₁=2，t₂=6（舍去）。
②當MN=MA時，，即，解得t₁=0（舍去），t₂=。
③當AM=AN時，6﹣t=t，即t=。
綜上所述，當t的值取 2或或 時，△MAN是等腰三角形。

解析