Question

已知：如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角．
（1）求證：BC=CD．
（2）若將原題中的已知條件“∠B和∠D都是直角”放寬為“∠B和∠D互為補角”，其余條件不變，猜想：BC邊和鄰邊CD的長度是否一定相等？請證明你的結論．
（3）探究：在（2）的情況下，如果再限制∠BAD=60°，那么相鄰兩邊AB、AD和對角線AC之間有什么確定的數量關系？需說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AC平分∠BAD與∠B和∠D都是直角，以及AC是公共邊，根據AAS即可證得△ABC≌△ADC，則可得BC=CD；
（2）首先不妨設∠B為銳角，作CE⊥AB于E，則點E必在線段AB上，由∠B和∠D互為補角，可得∠D是鈍角，作CF⊥AD于F，則點F必在線段AD的延長線上，則可得∠D=∠CBF，又由AC是∠BAD的平分線，與CE=CF，即可證得Rt△BCF≌Rt△DCE，則可得BC=CD；
（3）在圖2中，由已知條件，易知AE=AF，BE=DF，則可得AB+AD=（AE+BE）+（AF-DF）=AE+AF=2AE，則可證得AB+AD=2AE=AC．
解答：（1）證明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC．
在△ABC與△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC．
∴BC=CD．

（2）解：一定相等．
證明：如圖2，不妨設∠B為銳角，作CF⊥AB于F，則點F必在線段AB上，
∵∠B和∠D互為補角，
∴∠D是鈍角，作CE⊥AD于E，
則點F必在線段AB的延長線上．
∴∠CBF與∠ABC互補．
∴∠D=∠CBF．
又∵AC是∠BAD的平分線，
∴CE=CF．
在Rt△BCF與Rt△DCE中，

∴Rt△BCF≌Rt△DCE，
∴BC=CD．

（3）解：AB+AD=AC．
理由是：圖2中，由已知條件，易知AE=AF，DE=BF．
∴AB+AD=（AE+DE）+（AF-BF）=AE+AF=2AE．
當∠BAD=60°時，∠CAE=30°，AE=AC．
∴AB+AD=2AE=AC．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質以及角平分線的定義．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是要注意數形結合思想的應用．