Question

如圖，在?ABCD中，E是CD的延長線上一點，且，BE與AD交于點F．
（1）求證：AF=2FD；
（2）若△DEF的面積為2，求?ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）可證明△ABF∽△DEF，，再由，AB=CD，可得出結論；
（2）由（1）得△ABF∽△DEF，則S_△ABF：S_△DEF=（AF：AD）²，還可證明△EFD∽△EBC，則S_△EFD：S_△EBC=（ED：EC）²，根據△DEF的面積為2，從而得出S_△ABF和S_{四邊形BCDF}，再相加即可．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD
∴∠ABF=∠E，∠A=∠FDE
∴△ABF∽△DEF…（2分）
∴．
∵，AB=CD
∴．…（3分）
∴=2．
∴AF=2FD…（4分）

（2）解：∵△ABF∽△DEF，
∴，
又∵△DEF的面積為2，
∴S_△ABF=8…（6分），
∵，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠EFD=∠EBC，∠EDF=∠C，
∴△EFD∽△EBC，
∴，
又∵△DEF的面積為2，
∴S_△EBC=18…（8分），
∴S_{四邊形BCDF}=S_△EBC-S_△EFD=18-2=16…（9分），
∴S_□ABCD=S_{四邊形BCDF}+S_△ABF=16+8=24…（10分）．
點評：本題是一道綜合題，考查了相似三角形的判定和性質、平行四邊形的判定以及三角形的面積，是中考的重點內容，要熟練掌握．