Question

（1）觀察發現
如圖（1）：若點A、B在直線m同側，在直線m上找一點P，使AP+BP的值最小，做法如下：
作點B關于直線m的對稱點B′，連接AB′，與直線m的交點就是所求的點P，線段AB′的長度即為AP+BP的最小值．
如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為　   　．
（2）實踐運用
如圖（3）：已知⊙O的直徑CD為2，的度數為60°，點B是的中點，在直徑CD上作出點P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為　   　．
（3）拓展延伸
如圖（4）：點P是四邊形ABCD內一點，分別在邊AB、BC上作出點M，點N，使PM+PN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法．

Answer 1

解：（1）=。
（2）。
（3）拓展延伸：作圖如下：

解析分析：（1）觀察發現：利用作法得到CE的長為BP+PE的最小值：
∵在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點
∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1。
∴CE=BE=。
（2）實踐運用：過B點作弦BE⊥CD，連結AE交CD于P點，連結OB、OE、OA、PB，根據垂徑定理得到CD平分BE，即點E與點B關于CD對稱，則AE的長就是BP+AP的最小值：
∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即點E與點B關于CD對稱。
∵的度數為60°，點B是的中點，∴∠BOC=30°，∠AOC=60°。∴∠EOC=30°。
∴∠AOE=60°+30°=90°。
∵OA=OE=1，∴AEOA=。
∵AE的長就是BP+AP的最小值，∴BP+AP的最小值是。
（3）拓展延伸：分別作出點P關于AB和BC的對稱點E和F，然后連接EF，EF交AB于M、交BC于N。則點M，點N，使PM+PN的值最小。
解：（1）觀察發現：。
（2）實踐運用：
如圖，過B點作弦BE⊥CD，連接AE交CD于P點，連接OB、OE、OA、PB，則點P 即為使BP+AP的值最小的點。

BP+AP的最小值是。
（3）拓展延伸：作圖如下：