Question

某工廠中有若干個形狀完全相同的直角三角形鐵片余料，（如圖），已知∠ACB=90°，AC=3，BC=4，現準備對兩塊鐵片余料進行裁剪，方案如下：
方案一：如圖1，裁出一個扇形，圓心為點C，并且與AB相切于點D．
方案二：如圖2，裁出一個半圓，圓心O在BC上，并且與AB、AC相切于點D、C；

（1）分別計算以上兩種方案裁剪下來的圖形的面積，并把計算結果直接填在橫線上．按照方案一裁出的扇形面積是

 

；按照方案二裁出的半圓的面積是

 

；
（2）寫出按照方案二裁出的半圓面積的計算過程．

Answer 1

分析：（1）連接CD，根據勾股定理，可求出AB=5，利用面積公式計算CD=

12

5

，再用扇形面積公式可計算出其面積．
（2）連接OD，根據切線性質，可得AD=AC，那么BD=2；在Rt△ODB中，利用勾股定理可計算出OD的長，再用扇形面積公式計算就可以了．

解答：解：（1）

36

25

π，

9

8

π；
如圖1：連接CD，
∵AB切扇形于點D，
∴CD⊥AB，
∴CD=

AC•BC

AB

=

12

5

，
∴S_扇形=

90

360

π×（

12

5

）²=

36

25

π；

（2）連OD，則OD⊥AB，
∵AC、AD分別切半⊙O于C、D
∴AC=AD=3；
又Rt△ABC中，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴BD=2；
設半⊙O的半徑為x，則OD=OC=x，OB=4-x；
又在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB²=OD²+BD²，
∴（4-x）²=x²+2²；
解得x=

3

2

；
∴半圓的面積=

1

2

π•(

3

2

)2=

9

8

π．

點評：本題考查了勾股定理、切線長定理、扇形面積公式等知識．