Question

5月12日，我國四川省汶川縣等地發生強烈地震，在抗震救災中得知，甲、乙兩個重災區急需一種大型挖掘機，甲地需要25臺，乙地需要23臺；A、B兩省獲知情況后慷慨相助，分別捐贈該型號挖掘機26臺和22臺并將其全部調往災區．如果從A省調運一臺挖掘機到甲地要耗資0.4萬元，到乙地要耗資0.3萬元；從B省調運一臺挖掘機到甲地要耗資0.5萬元，到乙地要耗資0.2萬元．設從A省調往甲地x臺挖掘機，A、B兩省將捐贈的挖掘機全部調往災區共耗資y萬元．
（1）請直接寫出y與x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍；
（2）若要使總耗資不超過15萬元，有哪幾種調運方案？
（3）怎樣設計調運方案能使總耗資最少？最少耗資是多少萬元？

Answer 1

解：（1）由題意得：y=0.4x+0.3（26-x）+0.5（25-x）+0.2（23-26+x），
或：y=0.4x+0.3（26-x）+0.5（25-x）+0.2（22-25+x），
即：y=-0.2x+19.7（3≤x≤25）；

（2）依題意，得-0.2x+19.7≤15，
解之，得，
又∵23.5≤x≤25，且x為整數，
∴x=24或25，
即，要使總耗資不超過15萬元，有如下兩種調運方案：
方案一：從A省往甲地調運24臺，往乙地調運2臺；從B省往甲地調運1臺，往乙地調運21臺．
方案二：從A省往甲地調運25臺，往乙地調運1臺；從B省往甲地調運0臺，往乙地調運22臺．

（3）由（1）知：y=-0.2x+19.7（3≤x≤25），
∵-0.2＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當x=25時，y_最小值=-0.2×25+19.7=14.7，
答：設計如下調運方案：從A省往甲地調運25臺，往乙地調運1臺；
從B省往甲地調運0臺，往乙地調運22臺，能使總耗資最少．
最少耗資為14.7萬元．
分析：（1）利用x就可以表示出A省，B省調甲，乙兩地的臺數，進而可以得到費用，得到函數解析式；
（2）總耗資不超過15萬元，即可得到關于x的不等式，即可求解；
（3）根據x的范圍就可確定方案的個數，依據函數的性質即可求解．
點評：本題是貼近社會生活的應用題，賦予了生活氣息，使學生真切地感受到“數學來源于生活”，體驗到數學的“有用性”．這樣設計體現了《新課程標準》的“問題情景-建立模型-解釋、應用和拓展”的數學學習模式．