Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y₁=k₁x+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象交于A（1，4），B（3，m）兩點．

（1）試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在第一象限內(nèi)，x取何值時，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值；

（3）求△AOB的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）y₁=﹣x+ （2）x取1＜x＜3 （3）

【解析】

試題分析：（1）把A（1，4）代入數(shù)即可求出反比例函數(shù)的解析式，把B的坐標(biāo)代入即可求出B的坐標(biāo)，把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式，得出方程組，求出方程組的解，即可得出一次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象和A、B的坐標(biāo)即可得出答案；

（3）過A作AE⊥ON于E，過B作BF⊥OM于F，求出M、N的坐標(biāo)，根據(jù)S_△AOB=S_△NOM﹣S_△AON﹣S_△BOM代入即可求出△AOB的面積．

解：（1）把A（1，4）代入數(shù)（x＞0）得：4=，

解得：k₂=4，

即反比例函數(shù)的解析式是：y₂=，

把B（3，m）代入上式得：m=，

即B（3，），

把A、B的坐標(biāo)代入y₁=k₁x+b（k≠0）得：

，

解得：k=﹣，b=，

∴一次函數(shù)的解析式是：y₁=﹣x+；

（2）從圖象可知：在第一象限內(nèi)，x取1＜x＜3時，一次函數(shù)的函數(shù)值大于反比例函數(shù)的函數(shù)值；

（3）過A作AE⊥ON于E，過B作BF⊥OM于F，

∵A（1，4），B（3，），

∴AE=1，BF=，

∵設(shè)直線AB（y₁=﹣x+）交y軸于N，交x軸于M，

當(dāng)x=0時，y=，

當(dāng)y=0時，x=4，

即ON=，OM=4，

∴S_△AOB=S_△NOM﹣S_△AON﹣S_△BOM

=××4﹣××1﹣×4×

=．

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．

點評：本題考查了三角形的面積，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式等知識點，本題具有一定的代表性，是一道比較好的題目．