Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，我把由兩條射線AE，BF和以AB為直徑的半圓所組成的圖形叫作圖形C（注：不含AB線段）．已知A（-1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圓與y軸的交點D在射線AE的反向延長線上．
（1）求兩條射線AE，BF所在直線的距離；
（2）當一次函數y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個公共點時，寫出b的取值范圍；
當一次函數y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個公共點時，寫出b的取值范圍；
（3）已知?AMPQ（四個頂點A，M，P，Q按順時針方向排列）的各頂點都在圖形C上，且不都在兩條射線上，求點M的橫坐標x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定三角形ADB為等腰直角三角形，其直角邊的長等于兩直線間的距離；
（2）利用數形結合的方法得到當直線與圖形C有一個交點時自變量x的取值范圍即可；
（3）根據平行四邊形的性質及其四個頂點均在圖形C上，可能會出現四種情況，分類討論即可．
解答：解：（1）如圖1，分別連接AD、DB，則點D在直線AE上，
∵點D在以AB為直徑的半圓上，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AD，
在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=，
∵AE∥BF，
∴兩條射線AE、BF所在直線的距離為．

（2）當一次函數y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個公共點時，b的取值范圍是b=或-1＜b≤1；
當一次函數y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個公共點時，b的取值范圍是1＜b＜

（3）假設存在滿足題意的平行四邊形AMPQ，根據點M的位置，分以下四種情況討論：
①當點M在射線AE上時，如圖2
∵AMPQ四點按順時針方向排列，
∴直線PQ必在直線AM的上方，
∴PQ兩點都在弧AD上，且不與點A、D重合，
∴0＜PQ＜．
∵AM∥PQ且AM=PQ，
∴0＜AM＜
∴-2＜x＜-1，

②當點M在弧AD上時，如圖3
∵點A、M、P、Q四點按順時針方向排列，
∴直線PQ必在直線AM的下方，
此時，不存在滿足題意的平行四邊形．
③當點M在弧BD上時，
設弧DB的中點為R，則OR∥BF，

當點M在弧DB上時，如圖4，
過點M作OR的垂線交弧DB于點Q，垂足為點S，可得S是MQ的中點．
∴四邊形AMPQ為滿足題意的平行四邊形，
∴0≤x＜．

當點M在弧RB上時，如圖5，
直線PQ必在直線AM的下方，
此時不存在滿足題意的平行四邊形．

④當點M在射線BF上時，如圖6，
直線PQ必在直線AM的下方，
此時，不存在滿足題意的平行四邊形．

綜上，點M的橫坐標x的取值范圍是-2＜x＜-1或0≤x＜．
點評：本題是一道一次函數的綜合題，題目中還涉及到了勾股定理、平行四邊形的性質及圓周角定理的相關知識，題目中還滲透了分類討論思想．