Question

如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于點A、B，它的對稱軸是過點（1，0）且與y軸平行的直線，點A的橫坐標是-2．
（1）求二次函數的關系式；
（2）如圖2，直線l過點C（2，0）且與y軸平行，現有點P由點A出發沿射線AO以每秒2個單位長度的速度運動，同時點Q從點C出發，沿直線l向上以每秒1個單位長度的速度運動，設運動的時間為t秒．
①當PQ⊥AQ時，求t的值；
②在二次函數的圖象上是否存在點D，使得點P、D、C、Q圍成的四邊形是平行四邊形？若存在求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由對稱軸是過點（1，0）且與y軸平行的直線，點A的橫坐標是-2，可求出B的坐標，把A和B的坐標分別代入二次函數求出b和c的值即可；
（2）①當PQ⊥AQ時，易證△AQC∽△QPC，根據相似三角形的性質可得關于t的比例式，求出t的值即可；
②在二次函數的圖象上存在點D，使得點P、D、C、Q圍成的四邊形是平行四邊形，此題可分三種情況討論，以PQ和PC為平行四邊形鄰邊；以PC和CQ為平行四邊形鄰邊；
以PQ和CQ為平行四邊形鄰邊，分別求出符合題意的t值即可．
解答：解：（1）由題意知點B的坐標為（4，0），把點A（-2，0）、B（4，0）代入二次函數的關系式，
得，
解得，
故二次函數的關系是y=x²-x-1；

（2）①當PQ⊥AQ時，∠AQP=90°，
∴∠APQ+∠QAP=90°，
又∵CQ⊥AB，
∴∠ACQ=∠BCQ=90°，
∴∠QAP+∠AQC=90°，∠APQ=∠AQC，
∴△AQC∽△QPC，
∴，
∴CQ²=AC•PC
又∵CQ=t，CP=2t-4，AC=4，
∴t²=4×（2t-4），
解得：t=4，
∴當PQ⊥AQ時，t的值是4；
②在二次函數的圖象上存在點D，使得點P、D、C、Q圍成的四邊形是平行四邊形，分三種情況討論：
（Ⅰ）以PQ和PC為平行四邊形鄰邊，則QD∥PC，QD=PC，
∴點D的坐標為（6-2t，t），代入y=x²-x-1，得到t=（6-2t）²-（6-2t）-1，解得：t=或，
∴點D的坐標為（-1-，）、（-1+，）；
（Ⅱ）以PC和CQ為平行四邊形鄰邊，則QD∥PC，QD=PC，∴點D的坐標為（2t-2，t），代入y=x²-x-1，得到t=（2t-2）²-（2t-2）-1，解得：t=5或-1（舍去）
∴點D的坐標為（8，5）；
（Ⅲ）以PQ和CQ為平行四邊形鄰邊，則 PD∥QC，PD=QC，∴點D的坐標為（2t-2，-t），代入y=x²-x-1，得到-t=（2t-2）²-（2t-2）-1，解得：t=1或2（舍去）
∴點D的坐標為（0，-1），
綜上可知：二次函數的圖象上存在點D，使得點P、D、C、Q圍成的四邊形是平行四邊形，點D的坐標為：（-1-，）、（-1+，）；（8，5）；（0，-1）．
點評：本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式、相似三角形的判定和性質以及平行四邊形的判定和性質，特別是第二問的第二小問要用到分類討論思想，力爭做題時做到不重不漏．