Question

已知：如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點E，BD⊥DC，∠ABD=45°，∠ACD=30°，AD=CD=2，求AC和BD的長．

Answer 1

【答案】分析：通過解直角三角形求出DE長，求出EVC，即可求出AC，過點A作AM⊥BD，垂足為M，求出AM，ME，即可求出BD．
解答：解：∵BD⊥DC，
∴∠BDC=90°，
∵∠ACD=30°，AD=CD=2，
∴∠DEC=60°，∠DAC=∠ACD=30°，
DE=CD•tan30°=2×=2，
∴EC=2DE=4，∠ADE=30°，
∴AE=DE=2，
∴AC=AE+EC=2+4=6，
過點A作AM⊥BD，垂足為M，
∵∠AEB=∠DEC=60°，
∴AM=AE•sin60°=2×=，
ME=AEcos60°=2×=1，
∵∠ABD=45°，
∴BM=AM=，
∴BBM+ME+DE=+1+2=3+．
點評：本題考查了三角形的內角和定理，等腰三角形的性質，三角形的外角性質，解直角三角形的應用，主要考查學生的計算能力．