Question

如圖，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點P從點A開始，沿AB邊向點B以1cm/S的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，（其中一點到達終點，另一點也停止運動），設經過t秒．
（1）如果P、Q分別從A、B兩點同時出發，那么幾秒后，△PBQ的面積等于△ABC的面積的？
（2）在（1）中，△PQB的面積能否等于10cm²？請說明理由．
（3）若P、Q分別從A、B兩點出發，那么幾秒后，PQ的長度等于6cm？
（4）P、Q在移動的過程中，是否存在某一時刻t，使得PQ∥AC？若存在求出t的值，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先表示出AP=t，BQ=2t，PB=AB-AP=6-t，再得出S_△PBQ與S_△ABC面積，利用S_△PBQ=S_△ABC求出即可；
（2）利用S_△PBQ=t（6-t），假設等于10，利用根的判別式求出即可；
（3）根據PQ=6，利用勾股定理BP²+BQ²=PQ²，求出即可；
（4）當PQ∥AC時，則△BPQ∽△BAC，得出對應邊的關系，再求出t即可．
解答：解：（1）∵P、Q移動t秒時AP=t，BQ=2t，
則PB=AB-AP=6-t，
∴S_△PBQ=，
∵S_△ABC==，
當S_△PBQ=S_△ABC時，則t（6-t）=，
t²-6t+8=0，
t₁=2，t₂=4，
∴當t=2或4時，△PBQ的面積等于△ABC的面積的．

（2）不存在t的值，得△PQB的面積等于10cm²．
理由：設S_△PQB=10，由（1）知：S_△PBQ=t（6-t），
∴t（6-t）=10，整理得t²-6t+10=0，
∵△=（-6）²-4×1×10=-4＜0，
∴該方程無解，
∴不存在t的值，使得△PQB的面積等于10cm²．

（3）當PQ=6時，在Rt△PBQ中，∵BP²+BQ²=PQ²，
∴（6-t）²+（2t）²=6²，
5t²-12t=0，
t（5t-12）=0，
t₁=0，t₂=，
∵t=0時不合題意，舍去，
∴當t=時，PQ的長度等于6cm．

（4）當PQ∥AC時，則△BPQ∽△BAC，
∴，
∴整理得3t=12-2t，
∴t=，
∴當t=時，PQ∥AC．
點評：此題主要考查了一元二次方程的應用以及相似三角形的判定與性質、三角形面積求法等知識，此題涉及知識較多，難度不大，關鍵是要對知識的熟練應用．