Question

已知拋物線y=mx²-（m-5）x-5（m＞0），與x軸交于兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），（x₁＜x₂），與y軸交于點(diǎn)C且AB=6．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若⊙M過A、B、C三點(diǎn)，求⊙M的半徑，并求M到直線BC的距離；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，使△PBQ被直線BC分成面積相等的兩部分，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式，可求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)AB=6，即可求出m的值，由此確定拋物線的解析式；
（2）由于圓心同時經(jīng)過A、B，則圓心必在拋物線的對稱軸上，由此可得到點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，設(shè)出M點(diǎn)的縱坐標(biāo)，B、C的坐標(biāo)易求得，可用平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式求出MB²、MC²的長，由于MB、MC都是⊙M的半徑，則上面所得兩條線段平方的表達(dá)式相等，由此可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出⊙M的半徑，而M到直線BC的距離可由勾股定理和垂徑定理求得；
（3）假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)，設(shè)PQ與直線BC的交點(diǎn)為H，如果BC將△PBQ分成面積相等的兩部分，那么QH=PH=

1

2

PQ（△BHQ、△BPH同高，若面積相等則底邊相等），可先求出直線BC的解析式，設(shè)出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)直線BC和拋物線的解析式表示出H、P的縱坐標(biāo)，從而得到QH、PQ的長，再根據(jù)QH、PQ的數(shù)量關(guān)系列方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）y=mx²-（m-5）x-5（m＞0）
=（x-1）（mx+5）=m（x-1）（x+

5

m

）；
∴x₁=-

5

m

，x₂=1；
∴|AB|=1+

5

m

=6，m=1；
∴y=x²+4x-5；A（-5，0），B（1，0），C（0，-5）；

（2）圓心M的坐標(biāo)為（-2，x），且MB=MC；
（-2-1）²+x²=4+（x+5）²，x=-2；
設(shè)⊙M的半徑為r，
∴r²=x²+9=4+9=13；
∴r=

13

，BC=

26

；
∴d=

r2-( 1 2 BC)2

=

13- 26 4

=

26

2

；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P（x_P，y_P），
∵P在拋物線上，
∴y_P=x_P²+4x_P-5，Q（x_P，0）；
∵直線BC的方程為y=5x-5，而直線PQ的方程為x=x_P，
∴設(shè)BC與PQ的交點(diǎn)為H，H（x_P，5x_P-5）；
∴

HQ

PQ

=

1

2

，
∴

5xP-5

xP2+4xP-5

=

1

2

；
∴x_P=1（舍去）或x_P=5；
∴存在點(diǎn)P（5，40）．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、垂徑定理的應(yīng)用、三角形面積的求法等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．