Question

如圖，已知ED∥BC，∠EAB=∠BCF，
（1）四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）求證：OB²=OE•OF；
（3）連接OD，若∠OBC=∠ODC，求證：四邊形ABCD為菱形．

Answer 1

解：（1）∵DE∥BC，
∴∠D=∠BCF，
∵∠EAB=∠BCF，
∴∠EAB=∠D，
∴AB∥CD，
∵DE∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形；

（2）∵DE∥BC，
∴，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴OB²=OE•OF；

（3）連接BD，交AC于點H，
∵DE∥BC，
∴∠OBC=∠E，
∵∠OBC=∠ODC，
∴∠ODC=∠E，
∵∠DOF=∠DOE，
∴△ODF∽△OED，
∴，
∴OD²=OE•OF，
∴OB²=OF•OE，
∴OB=OD，
∵平行四邊形ABCD中BH=DH，
∴OH⊥BD，
∴四邊形ABCD為菱形．
分析：（1）由ED∥BC，∠EAB=∠BCF，可證得∠EAB=∠D，即可證得AB∥CD，則得四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）由平行線分線段成比例定理，即可證得OB²=OE•OF；
（3）首先作輔助線：連接BD，交AC于點H，連接OD，易證得△ODF∽△OED，即可證得OD²=OE•OF，則得到OB=OD，又由OH⊥BD，即可證得四邊形ABCD為菱形．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，菱形的判定以及平行線分線段成比例定理等．綜合性很強，圖形較復雜，解題時要注意識圖，靈活應用數形結合思想．