Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉，旋轉角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（1）如圖1，當A′B′∥CB時，設CB′與AB相交于點D．求證：△ACD是等邊三角形；
（2）如圖2，連接A′A、B′B，設△ACA′和△BCB′的面積分別為S_△ACA′ 和S_△BCB′．求證：S_△ACA′：S_△BCB′=1：3；
（3）如圖3，設AC中點為E，A′B′中點為 P，AC=a，連接EP，當θ=______度時，EP長度最小，最小值為______．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出∠A′B’C=∠B′=30°，求出∠ACB’=60°，得出∠ACB’=∠A=∠ADC=60°，即可推出等邊三角形；
（2）證△ACA′∽△BCB′，得出相似比為AC：BC=1：，即可求出答案；
（3）求出AB=A′B′=2a，A′C=AC=a，求出CP=A′B′=a，得出A和P重合，即可求出EP=EA=AC=a．
解答：（1）證明：∵A′B′∥CB，
∴∠A′B’C=∠B′=30°，
∴∠ACB’=60°．
又∵∠A=60°，
∴∠ACB’=∠A=∠ADC=60°，
∴△ACD是等邊三角形．

（2）證明：∵∠ACA′=∠BCB′，AC=A′C，BC=B′C，
∴△ACA′∽△BCB′，
相似比為AC：BC=1：，
∴S_△ACA′：S_△BCB′=1：3．

（3）解：當θ=60°時，EP值最小，
∵△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=a，
則AB=A′B′=2a，A′C=AC=a，
∵P為A′B′中點，∠A′CB′=90°，
∴CP=A′B′=a，
當θ=60°時，EP的值最小，
∵AC=A′C，∠A′CA=90°-（90°-60°）=60°，
∴△A′CA是等邊三角形，
∴A′A=CA=a，
即A和P重合，
∴EP=EA=AC=a，
故答案為：60，a．
點評：本題考查了等邊三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，含30度角的直角三角形性質，直角三角形斜邊上中線性質的應用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．