Question

（2005•重慶）如圖，AB是△ABC的外接圓⊙O的直徑，D是⊙O上的一點，DE⊥AB于點E，且DE的延長線分別交AC、⊙O、BC的延長線于F、M、G．
（1）求證：AE•BE=EF•EG；
（2）連接BD，若BD⊥BC，且EF=MF=2，求AE和MG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題實際求的是△AEF和△EGB相似，這兩個三角形中已知的條件有一組直角，只要再得出一組對應的角相等即可得出相似的結論．可在Rt△AEF和Rt△CGF中，根據對頂角和等角的余角相等來得出∠A=∠G，因此就構成了兩三角形相似的條件，兩三角形相似后即可得出所求的比例關系；
（2）求AE可通過相似三角形來求解．根據垂徑定理我們可得出DE的長，根據∠ACB=∠DBC=∠CBD=90°，那么∠DAF=90°，因此不難得出△ADE和△ADE相似，有了DE，EF的長，即可通過相似得出的DE、AE、EF的比例關系求出AE的長，下面求MG的長，關鍵是求出EG的長，根據（1）的比例關系求EG就要先求出BE的長，我們已知了DE、EM、AE的長，可根據相交弦定理求出EB的長，也就能求出EG的長了，那么MG=EG-EM就求出MG的長了．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，DE⊥AB
∴∠ACB=∠BEG=∠AEF=90°
∴∠G+∠B=∠A+∠B=90°
即∠G=∠A
∴Rt△AEF∽Rt△GEB
∴，即AE•BE=EF•EG；

（2）解：∵DE⊥AB，
∴DE=EM=4
連接AD，∵AB是⊙O的直徑，BD⊥BC
∴∠ACB=∠ADB=∠DBC=90°
∴∠DAF=90°
由Rt△AEF∽Rt△ADE可得AE²=DE•EF
∴AE=2
由相交弦定理可得DE•EM=AE•BE
∴EF•EG=DE•EM
∴EG===8
∴MG=EG-EM=8-4=4．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，相交弦定理等知識點的綜合應用，根據相似三角形來得出線段的比例關系是解題的關鍵．