Question

拋物線y=-x²+bx+c經過點A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．
（1）如圖，P為線段BC上一點，過點P作y軸平行線，交拋物線于點D，當△BDC的面積最大時，點P的坐標為    ；
（2）拋物線頂點為E，EF⊥x軸于F點，M（m，0）是x軸上一動點，N是線段EF上一點，若∠MNC=90°，實數m的變化范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A、C的坐標代入拋物線解析式求出b、c的值，從而得到拋物線的解析式，再求出點B的坐標，然后利用待定系數法求出直線BC的解析式，當與BC平行的直線與拋物線有且只有一個交點時，點D到BC的距離最大，此時△BDC的面積最大，然后聯立直線與拋物線解析式，消掉y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系求出x的值，即可得到點D的橫坐標，然后代入直線BC的解析式求出點P的縱坐標，即可得解；
（2）根據拋物線解析式求出頂點E的坐標，過點C作CG⊥%EF，然后分①點N在EG上時，點N與點E重合時，點M的橫坐標最大，然后根據點C、E的坐標求出∠CEG=45°，再求出∠MEF=45°，根據等腰直角三角形的性質求出EM的長度，從而得到點M的坐標，求出m的最大值；②點N在線段GF上時，設GN=x，然后表示出NF，根據同角的余角相等求出∠NCG=∠MNF，然后證明△NCG和△MNF相似，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式用x表示出MF，再根據二次函數的最值問題求出y的最大值，然后求出MO，從而得到點M的坐標，求出m的最小值．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經過點A（-1，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴y=-x²+2x+3，
令y=0，則-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點B的坐標為（3，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以，直線BC的解析式為y=-x+3，
過點D作BC的平行直線，設解析式為y=-x+d，
聯立，
消掉y得，-x²+2x+3=-x+d，
整理得，x²-3x-3+d=0，
當△=0時，方程有兩個相等的實數根，此時點D到BC的距離最大，△BDC的面積最大，
所以，x=-=，
∵PD∥y軸，
∴點P的橫坐標為，
此時y=-+3=，
∴點P的坐標為（，）；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線頂點E的坐標為（1，4），
過點C作CG⊥EF，則CG=1，
①點N在EG上時，點N與點E重合時，點M的橫坐標最大，
∵點C（0，3），E（1，4），
∴GE=1，
∴∠CEG=45°，
∵∠MNC=90°，
∴∠MEF=90°-45°=45°，
∴MF=EF=4，
∴OM=4+1=5，
∴點M的坐標為（5，0），
即m的最大值為5，
②點N在線段GF上時，設GN=x，則NF=3-x，
∵∠MNC=90°，
∴∠CNG+∠MNF=90°，
又∵∠CNG+∠NCG=90°，
∴∠NCG=∠MNF，
∴Rt△NCG∽△MNF，
∴=，
即=，
整理得，MF=-x²+3x=-（x-）²+，
所以，當x=時，MF有最大值，
MO=MF-OF=-1=，
所以，點M的坐標為（-，0），
所以，m的最小值為-，
因此，實數m的變化范圍為-≤m≤5．
故答案為：（，）；-≤m≤5．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求函數解析式（二次函數解析式與直線解析式），聯立兩函數解析式求交點坐標，平行直線的解析式的k值相等，相似三角形對應邊成比例的性質，二次函數的最大值問題，綜合性較強，難度較大，（2）要分情況討論．