Question

【題目】如圖，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D（其中 BD>CD），BE⊥AC 于 E，AD 與 BE 相交于點 F，直線 AD 與△BCF 的外接圓 O 交于點 H，點 M 在圓 O 上，滿足弧 HM=弧 CF，連接 FM．

（1）求證：AF=CM；

（2）若∠ABE=45°，FH ，圓O的直徑為，求BF的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）根據AD⊥BC，BE⊥AC得∠BDF=∠AEF=90°，再由得CM∥HF，證明四邊形AFMC為平行四邊形即可求證AF=CM；

（2）連接BM，過點O作OG⊥CM于點G，交AH于點P，過點M作MN⊥AH于點N，連接PH，先證BM為直徑，設AF=5a，根據直徑為，解出a的值，分別求出MN，FD的值，再根據△FBD∽△FNM，求出BF的值.

（1）證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠BDF=∠AEF=90°，

∵∠AFE=∠BFD（對頂角），

∴∠FBD=∠EAF，

∵∠FBC和∠CMF都是對應的圓周角，

∴∠FBC=∠CMF，

∴∠EAF=∠CMF，

∵，

∴CM∥HF，

∴∠CMF=∠MFH，

∴∠MFH=∠EAF，

∴AC∥FM，

∴四邊形AFMC為平行四邊形，

∴AF=CM；

（2）連接BM，過點O作OG⊥CM于點G，交AH于點P，過點M作MN⊥AH于點N，連接PH，

∵AD⊥BC，CM∥AD，

∴CM⊥BC，

∴∠BCM=90°，

∴BM為直徑，

設AF=5a，

∴CM=AF=5a，

∵OG⊥CM，

∴GM=，

∴OG=，

∵直徑為，

則，解得a=1，

∴AF=CM=5，

∵FH ，

∴FH=7，

∵OG⊥CM，AH∥CM，

∴OP⊥FH，

∴PH=，

在Rt△OPH中，

OP=，

∴MN=GP=2，

∵MN⊥AH，BC⊥AH，

∴四邊形MNDC為矩形，

∴DN=CM=5，

∴FD=NH=1，

∴FN=6，

在Rt△MNF中，

FM=，

∵∠FBD=∠CMF，∠CMF=∠MFH，

∴∠FBD=∠MFN，

又∵∠BDF=∠FNM=90°，

∴△FBD∽△FNM，

∴，

∴，

∴.

，